- 1. Перетин піраміди і конуса
- 2. Перетин двох конусів і «даху»
- 3. Перетин двох різноспрямованих конусів
Костянтин Соломонов. Докт. техн. наук, професор Національного дослідницького технологічного університету «МІСіС»
Віктор Свірін. асистент
Олексій Фролов. Cтудент Національного дослідницького технологічного університету «МІСіС».
При проектуванні сучасних технологій найбільш ефективним інструментом, що дозволяє істотно заощадити енергетичні та інтелектуальні ресурси, служать різні види моделювання: математичне, аналогове, фізичне, комп'ютерне, графічне (рис. 1).
Мал. 1. Класифікація видів моделювання
Іноді важко відокремити один вид моделювання від іншого. Так, аналогове моделювання можна вважати різновидом фізичного моделювання, а комп'ютерне моделювання базується на математичних моделях процесів або об'єктів. У той же час геометричне моделювання є, строго кажучи, частиною математичного моделювання, але разом з тим може розглядатися як самостійний вид, оскільки використовує потужний апарат аналітичної, диференціальної і графічної (тобто нарисної) геометрії. Такий поділ геометрії вельми умовно і склалося історично, в ході розвитку математики і додатки її до вирішення практичних завдань. Тенденції сучасного науково-технічного прогресу вимагають інтеграції окремих наук, зокрема об'єднання геометрії в єдину галузь знань, що призводить до необхідності врахування цієї вимоги в навчальних програмах технічних вузів.
Останнім часом дієвим засобом вирішення безлічі прикладних задач стає графічне комп'ютерне моделювання, що пов'язано з вдосконаленням CAD / САМсістем і графічних пакетів програм, а також підвищенням можливостей комп'ютерної техніки.
Деякі з них допускають використання «поверхневих» аналогій, коли розподіл какоголибо параметра по площі (або об'єму) тіла представляється у вигляді поверхні деякої просторової епюри. При моделюванні реальних процесів такі поверхні являють собою досить складні геометричні об'єкти, зображення яких на площині пов'язане з істотними труднощами. Разом з тим завдання найчастіше полягає не тільки в тому, щоб показати контури подібної поверхні, але і, що набагато важливіше, побудувати лінію перетину її окремих ділянок.
У процесах обробки тиском тонкого шару металу просторову епюру контактних тисків можна моделювати граничною піщаної насипом, утвореної на пластині, схожою за формою з контуром заготовки. Очевидно, що така насип є поверхнею однакового ската. Оскільки будь-який багатозв'язна контур з достатнім ступенем точності можна апроксимувати відрізками прямих і дугами кіл, можна вважати, що зазначена поверхня складається з плоских і конічних ділянок. Лінії їх перетину утворюють ребра (так звані гребені).
Проекції цих ребер на площину контакту інструменту і заготовки дають можливість вирішувати деякі завдання пластичного формозміни матеріалу, а саме:
- фронтальна і профільна проекції дозволяють визначати обсяг епюри контактних тисків, а значить, і сили, необхідні для деформування шару металу;
- горизонтальна проекція являє собою лінію розділу течії металу (ЛРТМ), яка характеризує розподіл потоків металу на контактної поверхні. Очевидно, що ЛРТМ є еквідістанту, тобто геометричне місце точок, рівновіддалених від контуру заготовки.
Отже, вирішуючи графічними методами задачу про побудову лінії перетину поверхонь багатогранників і тіл обертання, можна визначити деякі параметри процесів обробки металів тиском.
Для управління потоками металу по полотну поковки в процесах обробки тиском використовують технологічні вирізи або технологічні виїмки, які дозволяють запобігати ряд дефектів ( «простріл», незадовільна зав'язка волокон, «утяжіни»), а також регулювати розподіл обсягів металу по площі заготовки. Зазвичай такі вирізи (виїмки) виконуються в формі кола. У цьому випадку все різноманіття побудов просторової епюри контактних тисків (ПЕКД) можна звести в основному до трьох чисто геометричним задачам.
1. Перетин піраміди і конуса
Нехай деформування між жорсткими плитами піддається квадратна пластина з круглим вирізом (рис. 2 а).
Відповідно до вищенаведених міркуваннями завдання зводиться до побудови проекцій лінії перетину поверхні багатогранника (піраміди) і кругового конуса (рис. 2 б). Розглянемо випадок, коли осі обох поверхонь збігаються. Тоді точка 8 є точкою перетину утворюють (рис. 2 в). Конус при цьому перевернутий, тобто його вершина розташована нижче основи.
Для вирішення поставленого завдання повинні бути задані контур пластини, який визначається її розмірами, і кут нахилу твірної (лінії ската) до горизонтальної площини, який залежить від фізичних характеристик матеріалу пластини.
Мал. 2. Побудова лінії перетину піраміди і конуса
Послідовність графічних побудов епюри, виконаних вручну з використанням способу допоміжних січних площин, цілком очевидна. Криві лінії перетину конуса і піраміди є відрізками параболи, оскільки грані піраміди нахилені до основи під тим же кутом, що і утворюють конуса, тобто паралельні один одному. Горизонтальна проекція лінії перетину в силу властивостей поверхні однакового ската є еквідістанту, відстані від якої до точок контуру попарно рівні, в чому легко переконатися на рис. 2 ст.
Для моделювання поверхонь однакового ската досить зручний графічний пакет КОМПАС3D, який дозволяє спочатку створювати 3Dмоделі просторових об'єктів (рис. 2 б), а потім отримувати по ним креслення в проекційному вигляді (рис. 2 г). З порівняння зображень в і г на рис. 2 очевидно їх майже повний збіг. Зручність компас для вирішення подібних завдань полягає в тому, що видавлювання поверхонь в ньому проводиться під однаковим кутом до основи, що і потрібно для створення поверхонь однакового ската. Зрозуміло, комп'ютерне рішення, навіть з урахуванням побудови твердотільної моделі, набагато швидше «ручного».
Слід зауважити, що в загальному випадку, коли в основі лежить какойлібо багатокутник, поверхня однакового ската є багатогранник досить складної конфігурації, що ускладнює як автоматизоване, так і «ручне» рішення задачі.
2. Перетин двох конусів і «даху»
Нехай деформування між жорсткими плитами піддається прямокутна пластина з двома круглими вирізами різного радіусу.
У цьому завданню, де внутрішній контур складається з двох кіл, нас цікавить лише окремий питання побудови лінії перетину двох перевернутих конусів і визначення форми цієї лінії, оскільки завдання про перетин конуса площиною нами вирішена раніше.
Очевидно, що крива, рівновіддалена від двох кіл, не що інше, як гіпербола, тому що являє собою проекцію лінії перетину двох конусів, що і підтверджує рис. 3.
Мал. 3. Прямокутна пластина з двома вирізами: а - твердотільна модель ПЕКД; б - проекційний креслення ПЕКД
3. Перетин двох різноспрямованих конусів
Нехай деформування між жорсткими плитами піддається кругла пластина з круглим нецентральним вирізом.
Завдання зводиться до побудови лінії перетину двох конусів, один з яких є перевернутим (рис. 4). Аналіз форми лінії перетину двох різноспрямованих конусів дозволяє зробити висновок, що це еліпс. Проекція еліпса на горизонтальну площину також є еліпс.
Мал. 4. Поверхня однакового ската для круглої пластини з вирізом
У разі якщо центр вирізу розташований за межами контуру пластини, тобто виріз є не повне коло, а усічений, рішення принципово не відрізняється від попереднього, різниця лише в тому, що ребро є дугою еліпса. При цьому вказане ребро впирається в основу конуса в точках кордону вирізу.
Інші випадки перетину поверхонь однакового ската, не розглянуті тут, становлять лише комбінації представлених побудов.
Таким чином, за допомогою компаса можна отримати рішення для складних контурів і поверхонь (рис. 5 а). Однак це вдається не завжди. Для цілого класу контурів видавити поверхню до кінця, тобто отримати граничну насип, неможливо. Наприклад, не можна побудувати (видавити) поверхню однакового ската для порівняно простого контуру, зображеного на рис. 5 б.
Мал. 5. Можливості моделювання поверхонь однакового ската
У тих випадках, коли какаялібо САПР не в змозі виконати поставлене завдання, доцільно використання універсальних пакетів програм або спеціалізованих для вузького кола завдань. Таким спеціалізованим програмним комплексом можна вважати PARSHTAMP, розроблений для моделювання процесів об'ємного штампування і кування і дозволяє будувати ЛРТМ для дуже складних контурів. Щоб порівняти результати комп'ютерного моделювання в обох пакетах, розглянемо відносно просту задачу про протяжке смуги в процесі кування. Нас цікавить, як буде виглядати ПЕКД, моделируемая поверхнею однакового ската в тій частині заготовки, яка схильна до деформації. Очевидно, що вона являє собою «дах» (рис. 6 а). З технологічних міркувань для зменшення сили, необхідної для опади заготовки, і випинання сторін поковки доцільно застосування технологічної виїмки. Тоді ПЕКД значно зменшиться в розмірах (рис. 6 б) і протягом металу в бік краю заготовки кілька вирівняється, про що свідчить картина перебігу металу, відповідна розташуванню ЛРТМ в площині контакту інструменту і заготовки (рис. 6 в). Аналогічні результати отримані за допомогою PARSHTAMP (рис. 6 ге). При цьому програмний комплекс PARSHTAMP дозволяє шляхом варіювання розмірів і положення технологічної виїмки отримувати різні варіанти картини перебігу. Порівняння моделей в і е на рис. 6 доводить гарний збіг результатів побудов в представлених САПР.
Мал. 6. Комплексне моделювання прикладних задач
Мал. 7. Приклад промислового використання САПР
Впровадження комп'ютерних розробок в промисловість надає допомогу при вирішенні практичних завдань. Так, при підготовці на одному з російських заводів серійного виробництва поковки (рис. 7 а) виник ряд труднощів: виявилося, що потужностей обладнання не вистачає для штампування вироби і вона оформляється нерівномірно. Аналіз картини перебігу металу, вироблений за допомогою комп'ютерного моделювання (рис. 7 б), підтвердив результати промислового експерименту, а також дозволив запропонувати раціональний варіант вирішення поставленого завдання. Для поліпшення макроструктури подреберних зон і забезпечення повного формування поковки в плоскій заготівлі до початку штампування на основі результатів віртуального експерименту (рис. 7 в, г) було виконано круглий отвір. Це дозволило відштампувати поковки відповідно до вимог замовника. При цьому не довелося переробляти дорогий інструмент изза зміни технології виробництва, а також передавати замовлення на сторону через відсутність потужного устаткування.
Таким чином, активне застосування графічних методів і CAD / CAMсістем для вирішення прикладних завдань дозволяє отримувати хороші результати.
САПР і графіка 2`2011
