- Пряма, перпендикулярна до площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини Визначення. Прямій,...
Пряма, перпендикулярна до площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини
Визначення. Прямій, перпендикулярній до площини, називають таку пряму, яка перпендикулярна до кожної прямої, що лежить на цій площині.
Ознака перпендикулярності прямої і площини. якщо пряма перпендикулярна до двох пересічних прямих , Що лежить в деякій площині, то пряма перпендикулярна до цієї площини.
Доказ . Розглянемо спочатку такий випадок.
Припустимо, що пряма p, яка перетинає площину α в точці O, перпендикулярна до прямих a і b, що лежить на площині α і проходять через точку O. Доведемо, що в цьому випадку пряма p перпендикулярна будь-який інший прямий c, що лежить на площині α і проходить через точку O.
З цією метою відзначимо на прямий a довільну точку A, а на прямий b довільну точку B (рис. 1).
рис.1
Проведемо пряму AB і позначимо літерою C точку перетину прямих AB і c. Відзначимо на прямий p довільну точку P і позначимо символом P 'точку, розташовану на прямий p так, щоб точка O виявилася серединою відрізка PP'. Оскільки прямі OA і OB є серединний перпендикуляр до відрізка PP ', то справедливі рівності
AP = AP ', BP = BP'
З цих рівностей, а також оскільки відрізок AB є спільною стороною трикутників APB і AP'B, робимо висновок, що в силу ознаки рівності трикутників за трьома сторонами Трикутник APB і AP'B рівні. отже,
Звідси в силу ознаки рівності трикутників за двома сторонами і кутом між ними робимо висновок, що Трикутник PBС дорівнює трикутнику P'BС (BP = BP ', , Сторона BС - загальна). отже,
СP = СP ',
звідки випливає, що точка С лежить на серединному перпендикуляре до відрізка PP ' .
Таким чином, прямі PO і c перпендикулярні, що й треба було довести в даному випадку.
Тепер перейдемо до загального випадку.
Припустимо, що що пряма p, яка перетинає площину α в точці O, перпендикулярна до прямих a і b, що лежить на площині α. Доведемо, що в цьому випадку пряма p перпендикулярна будь-який інший прямий c, що лежить площині α (рис. 2).
рис.2
З цією метою проведемо через точку O прямі a ', b' і c 'відповідно паралельні прямим паралельні прямим a, b і c.
За визначенням кута між перехресними прямими пряма буде перпендикулярна прямим a 'і b', що проходить через точку O, і ми опиняємося в умовах вже розглянутого випадку.
Доказ ознаки перпендикулярності прямої і площини завершено.
Зауваження. Пряму, перпендикулярну до площини, часто називають перпендикуляром до площини. Крапку перелік прямій, перпендикулярній до площини, з самої площиною називають підставою перпендикуляра.
Так, наприклад, на малюнку 1 точка O є підставою перпендикуляра, опущеного з точки P на площину α.
Властивості перпендикуляра до площини
Перерахуємо такі властивості перпендикуляра до площини, докази яких ми залишаємо читачеві як корисних вправ.
На нашому сайті можна також ознайомитися нашими навчальними матеріалами для підготовки до ЄДІ з математики .
